Голата статистика е най-интересната книга за най-скучната наука

2024 Автор: Malcolm Clapton | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 03:47

Кой каза, че статистиката е скучна и безполезна наука? Чарлз Уилън убедително твърди, че това далеч не е така. Днес публикуваме откъс от книгата му за това как да спечелите кола, а не коза, използвайки статистика, и разбираме, че интуицията може да ви подведе.

Загадката на Монти Хол

Мистерията на Монти Хол е известен проблем в теорията на вероятностите, който озадачи участниците в игровото шоу, наречено Let’s Make a Deal, все още популярно в няколко страни, което беше премиерно в Съединените щати през 1963 г. (Спомням си всеки път, когато гледах това предаване като дете, когато не ходех на училище поради болест.) В увода на книгата вече посочих, че това игрово шоу може да бъде интересно за статистиците. В края на всеки негов брой участникът, който стигна до финала, застана с Монти Хол пред три големи врати: Врата № 1, Врата № 2 и Врата № 3. Монти Хол обясни на финалиста, че зад една от тези врати беше много ценна награда - например нова кола и коза зад другите две. Финалистът трябваше да избере една от вратите и да получи това, което е зад нея. (Не знам дали сред участниците в шоуто имаше поне един човек, който искаше да си вземе коза, но за простота ще приемем, че по-голямата част от участниците са мечтали за нова кола.)

Първоначалната вероятност за печалба е сравнително лесно да се определи. Има три врати, две крият коза, а третата крие кола. Когато участник в шоуто застане пред тези врати с Монти Хол, той има един от трите шанса да избере вратата, зад която се намира колата. Но, както беше отбелязано по-горе, в Let’s Make a Deal има уловка, която увековечи тази телевизионна програма и нейния водещ в литературата по теория на вероятностите. След като финалистът на шоуто посочи една от трите врати, Монти Хол отваря една от двете останали врати, зад които винаги има коза. Тогава Монти Хол пита финалиста дали иска да промени решението си, тоест да изостави избраната по-рано затворена врата в полза на друга затворена врата.

Да кажем, за пример, че участникът посочи врата № 1. Тогава Монти Хол отвори врата № 3, зад която се криеше козата. Две врати, врата № 1 и врата № 2, остават затворени. Ако ценната награда беше зад врата No1, финалистът щеше да я спечели, а ако беше зад врата No2, тогава щеше да загуби. В този момент Монти Хол пита играча дали иска да промени първоначалния си избор (в този случай изоставете врата №1 в полза на врата №2). Разбира се, ще запомните, че и двете врати все още са затворени. Единствената нова информация, която участникът получи, е, че козата се е озовала зад една от двете врати, които не е избрал.

Трябва ли финалистът да изостави първоначалния избор в полза на врата № 2?

Отговарям: да, трябва. Ако той се придържа към първоначалния избор, тогава вероятността да спечели ценна награда ще бъде ⅓; ако промени решението си и посочи врата № 2, тогава вероятността да спечели ценна награда ще бъде ⅔. Ако не ми вярвате, прочетете.

Признавам, че този отговор далеч не е очевиден на пръв поглед. Изглежда, която и от останалите две врати да избере финалистът, вероятността да получи ценна награда и в двата случая е ⅓. Има три затворени врати. Отначало вероятността зад някой от тях да е скрита ценна награда е ⅓. Има ли разлика решението на финалиста да промени избора си в полза на друга затворена врата?

Разбира се, тъй като уловката е, че Монти Хол знае какво има зад всяка врата. Ако финалистът избере Врата № 1 и наистина има кола зад нея, Монти Хол може да отвори или Врата № 2, или Врата № 3, за да разкрие козата, която дебне зад нея.

Ако финалистът избере врата 1 и колата е зад врата 2, тогава Монти Хол ще отвори врата 3.

Ако финалистът посочи врата 1 и колата е зад врата 3, тогава Монти Хол ще отвори врата 2.

Като промени решението си, след като водещият отвори една от вратите, финалистът получава предимството да избере две врати вместо една. Ще се опитам да ви убедя в правилността на този анализ по три различни начина.

Първият е емпиричен. През 2008 г. колумнистът на New York Times Джон Тайърни пише за феномена Монти Хол. След това служителите на изданието разработиха интерактивна програма, която ви позволява да играете тази игра и самостоятелно да решите дали да промените първоначалния си избор или не. (Програмата дори предвижда малки козички и колички, които се появяват зад вратите.) Програмата записва печалбите ви в случай, че промените първоначалния си избор и в случай, когато останете неубедени. Платих на една от дъщерите си да играе тази игра 100 пъти, променяйки нейния първоначален избор всеки път. Платих и на брат й да играе играта 100 пъти, като запазвах първоначалното решение всеки път. Дъщерята спечели 72 пъти; брат й 33 пъти. Всяко усилие беше възнаградено с два долара.

Доказателствата от епизоди на играта Let’s Make a Deal показват същия модел. Според Леонард Млодинов, автор на The Drunkard's Walk, тези финалисти, които са променили първоначалния си избор, са имали около два пъти по-голяма вероятност да спечелят от тези, които не са били убедени.

Второто ми обяснение за този феномен се основава на интуицията. Да кажем, че правилата на играта са се променили леко. Например, финалистът започва, като избира една от трите врати: врата № 1, врата № 2 и врата № 3, както първоначално е планирано. Тогава обаче, преди да отвори някоя от вратите, зад които се крие козата, Монти Хол пита: „Съгласни ли сте да се откажете от избора си в замяна на отварянето на двете останали врати?“Така че, ако сте избрали врата № 1, можете да промените решението си в полза на врата № 2 и врата № 3. Ако сте посочили първо врата № 3, можете да изберете врата № 1 и врата № 2. И така нататък.

Това не би било особено трудно решение за вас: съвсем очевидно е, че трябва да се откажете от първоначалния избор в полза на двете оставащи врати, тъй като това увеличава шансовете за печалба от ⅓ на ⅔. Най-интересното е, че това по същество ви предлага Монти Хол в истинска игра, след като отворите вратата, зад която се крие козата. Фундаменталният факт е, че ако ви се даде възможност да изберете две врати, така или иначе зад една от тях ще бъде скрита коза. Когато Монти Хол отвори вратата, зад която е козата, и едва след това ви попита дали сте съгласни да промените първоначалния си избор, това значително увеличава шансовете ви да спечелите ценна награда! По принцип Монти Хол ви казва: „Шансовете за ценна награда, скрита зад една от двете врати, които не сте избрали за първи път, са ⅔, което все още е повече от ⅓!“

Можете да си го представите така. Да приемем, че сте посочили врата № 1. След това Монти Хол ви дава възможност да се откажете от първоначалното решение в полза на врата № 2 и врата № 3. Вие се съгласявате и имате две врати на ваше разположение, което означава, че имате всяка причина очаквайте да спечелите ценна награда с вероятност ⅔, а не ⅓. Какво щеше да стане, ако в този момент Монти Хол беше отворил врата 3 - една от "твоите" врати - и зад нея имаше коза? Този факт ще разклати ли увереността ви във вашето решение? Разбира се, че не. Ако колата се криеше зад врата 3, Монти Хол щеше да отвори врата 2! Той нямаше да ти покаже нищо.

Когато играта се играе по сценарий за изключване, Монти Хол наистина ви дава избор между вратата, която сте посочили в началото, и двете оставащи врати, едната от които може да бъде кола. Когато Монти Хол отваря вратата, зад която се крие козата, той просто ви прави услуга, като ви показва коя от другите две врати не е колата. Имате еднакви вероятности да спечелите и в двата сценария по-долу.

1. Избиране на врата № 1, след което се съгласявате да „превключите“към врата № 2 и врата № 3 дори преди която и да е врата да бъде отворена.
2. Избирайки врата № 1, след което се съгласявате да „превключите“на врата № 2, след като Монти Хол ви покаже козата зад врата № 3 (или изберете врата № 3, след като Монти Хол ви покаже козата зад врата № 2).

И в двата случая изоставянето на първоначалното решение ви дава предимството на две врати пред една и по този начин можете да удвоите шансовете си за печалба от ⅓ на ⅔.

Моят трети вариант е по-радикална версия на същата основна интуиция. Да приемем, че Монти Хол ви моли да изберете една от 100 врати (вместо една от три). След като направите това, да речем, като посочите врата № 47, той отваря останалите 98 врати, които ще разкрият козите. Сега само две врати остават затворени: вашата врата № 47 и друга, например, врата № 61. Трябва ли да се откажете от първоначалния си избор?

Разбира се, да! Има 99 процента шанс колата да е зад една от вратите, които не сте избрали в началото. Монти Хол ви направи любезното, като отвори 98 от тези врати, зад тях нямаше кола. По този начин има само 1 на 100 шанс, че първоначалният ви избор (Врата № 47) ще бъде правилен. В същото време има 99 от 100 шанс първоначалният ви избор да е грешен. Ако е така, тогава колата се намира зад оставащата врата, тоест врата № 61. Ако искате да играете с вероятността да спечелите 99 пъти от 100, тогава трябва да „превключите“на врата № 61.

Накратко, ако някога ви се наложи да играете Let’s Make a Deal, определено ще трябва да отстъпите от първоначалното си решение, когато Монти Хол (или този, който ще го замени) ви даде избор. По-универсално заключение от този пример е, че вашите интуитивни предположения за вероятността от определени събития понякога могат да ви подведат.