Проблемът на средновековния математик Леонардо Фибоначи за зайците

2024 Автор: Malcolm Clapton | [email protected]. Последно модифициран: 2023-12-17 03:48

Изчислете какво потомство ще даде двойка животни до началото на следващата година.

Леонардо Фибоначи е изключителен средновековен математик. Смята се, че именно той е въвел арабските цифри в употреба. В The Book of the Abacus, произведение, което излага и популяризира десетичната аритметика, Фибоначи дава своя прочут проблем за зайците. Опитайте се да го разрешите.

В началото на януари двойка новородени зайчета (мъжки и женски) бяха поставени в кошара, оградена от всички страни. Колко двойки зайци ще произведат до началото на следващата година? Необходимо е да се вземат предвид следните условия:

Зайците достигат полова зрялост два месеца след раждането, тоест до началото на третия месец от живота.
В началото на всеки месец всяка полово зряла двойка ражда само една двойка.
Животните винаги се раждат по двойки "една женска + един мъжки".
Зайците са безсмъртни, хищниците не могат да ги ядат.

Нека да видим как расте броят на зайците през първите шест месеца:

1 месец. Един чифт млади зайци.

2 месец. Все още има един оригинален чифт. Зайците все още не са достигнали детеродна възраст.

3 месец. Две двойки: оригиналната, навършила детеродна възраст + чифт млади зайчета, които тя е родила.

4 месец. Три двойки: една оригинална двойка + една двойка зайчета, които е родила в началото на месеца + една двойка зайчета, които са родени в третия месец, но все още не са достигнали пубертета.

5 месец. Пет двойки: една оригинална двойка + една двойка, родена през третия месец и достигнала детеродна възраст + две нови двойки, които са родили + една двойка, която е родена през четвъртия месец, но все още не е достигнала зрялост.

6 месец. Осем двойки: пет двойки от миналия месец + три новородени двойки. И т.н.

За да стане по-ясно, нека запишем получените данни в таблицата:

Математическият проблем на Леонардо Фибоначи за зайците: решение

Ако внимателно разгледате таблицата, можете да идентифицирате следния модел. Всеки път броят на зайците, присъстващи през n-ия месец, е равен на броя на зайците през (n - 1)-тия предходен месец, сумиран с броя на новородените зайчета. Техният брой от своя страна е равен на общия брой животни към (n - 2) месец (който беше преди два месеца). От тук можете да извлечете формулата:

Ф = F_{n - 1}+ Ф_{n - 2}, където Ф - общият брой двойки зайци през n-ия месец, F_{n - 1} е общият брой двойки зайци през предходния месец, а F_{n - 2} - общият брой двойки зайци преди два месеца.

Нека преброим броя на животните през следващите месеци, използвайки го:

7 месец. 8 + 5 = 13.

8 месец. 13 + 8 = 21.

9 месец. 21 + 13 = 34.

10 месец. 34 +21 = 55.

11 месец. 55 + 34 = 89.

12 месец. 89 + 55 = 144.

13-ти месец (началото на следващата година). 144 + 89 = 233.

В началото на 13-ия месец, тоест в края на годината, ще имаме 233 двойки зайци. От тях 144 ще бъдат възрастни и 89 ще бъдат млади. Получената последователност 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 се нарича числа на Фибоначи. В него всяко ново крайно число е равно на сбора от двете предишни.

Покажи отговора Скрий отговора